Differentiation und Integration.

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Definitionen von Funktion und Grenze gegeben, und die Grundsätzeder Grenztheorie aufgestellt. Das 1. Kapitel beginnt mit der La-grangeschen Definition der Ableitung; es werden dann, wie schongesagt, die Ableitungen der elementaren Funktionen bestimmt und dieHauptsätze der Differentialrechnung nachgewiesen, und es wird zumSchlüsse gezeigt, daß die Ableitung die Grenze des Zuwachsverhält-nisses ist, was zur oben angeführten Definition der Differentialrech-nung führt. Das 2. Kapitel behandelt die analytischen Anwendungender Differentialrechnung: Reihenentwicklungen, unbestimmte Ausdrücke,Maxima und Minima. Bemerkenswert ist hier die Untersuchungeiniger Fälle, in welchen die Taylorsehe Reihenentwicklung nichtzulässig ist. Hat man:

fix) = (x — a) n ,

wo n positiv und kleiner als 1 ist, so enthält das erste Glied derEntwicklung eine positive Potenz, die übrigen aber sämtlich negativePotenzen von (x — «), und man kann also nicht a = 0 setzen. Dasrührt davon her, daß (x — a -f k) n sich für x = a auf k ", d. h. aufeine nicht ganze Potenz von Je reduziert, was mit der allgemeinenForm der Entwicklung nicht verträglich ist. Ist f(x) allgemeinirrational, hört aber für x = a auf, es zu sein, so muß k in f(a + k)irrational auftreten, und daher kann f{a + /, ) durch keine Entwick-lung nach ganzen positiven Potenzen von k dargestellt werden.Das 3. Kapitel enthält eine Abschweifung über algebraische Kurven,das 4. und 5. die Theorie der ebenen Kurven und diejenige der Raum-kurven und Oberflächen.

Der zweite Band enthält die Integralrechnung und zerfällt eben-falls in fünf Kapitel, nämlich: 1. Integration der Funktionen einer Ver-änderlichen; 2. Geometrische Anwendungen der Integralrechnung;3. Gewöhnliche Differentialgleichungen: 4. Funktionen von mehrerenVeränderlichen; 5. Variationsrechnung.

Differentiation und Integration.

1. Differentiation.

Die Differentialrechnung war in allen ihren wesentlichen Teilenvon Leibniz geschaffen worden und hatte noch am Schlüsse dervorigen Periode in Eulers Lehrbuche eine erschöpfende Behandlungerhalten. Es war also von unserer Periode kein beträchtlicher Bei-trag zu erwarten. Und so ist es wirklich. Xur eines verdient alsganz neu angezeigt zu werden, die Einführung der symbolischen Be-zeichnung in die Infinitesimalrechnung durch Lagrange.