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Abschnitt XXVI.

Lagrange 1 ) schreibt die Taylor sehe Entwicklung folgender-maßen:

du ^ du

j u = <?* dy — 1 ,und geht dann zur allgemeinen Formel über:

diese Formel läßt sich auch auf den Fall eines negativen A erstrecken,so daß:

1

wo Z'u durch die Beziehungen:

4 Z l u = Z-hi, . . ., J Zu = n

definiert ist. Der Übergang von zFm zu Z'-u, bemerkt Lagrange,ist nicht auf ersichtliche und strenge Prinzipien gegründet, er istaber nichtsdestoweniger richtig, wovon man sich a posteriori zuüberzeugen imstande ist, und hängt mit der zwischen den positivenPotenzen und der Differentiation einerseits, zwischen den negativenPotenzen und der Integration andererseits obwaltenden Analogie zu-sammen. Es wäre jedoch wohl schwierig, einen direkten analytischenBeweis davon zu geben.

Betrachten wir, der Einfachheit wegen, den Fall einer einzigenVeränderlichen. Da:

ist, so folgt:

(f’~ iy = c,P(l -f Aco + Ila 2 -\ -),

und hieraus durch logarithmische Differentiation:

A + \ 2/lco +

Aa Ha> i -\-

oder:

V-L Acö + üco s -|-

1

1

CO

ÜJ- CO

woraus folgt:

') In der schon oben (S. 644) angeführten Abhandlung: Sur une nouveileespece de calcul etc.