Differentiation und Integration.

697

und:

i r* + 1

Sx + l

/ + 1 s

Für negative Indiees hat man dann:

O

X'-u = J u (I x'- —, j udP 1 -f- •

l

es ist insbesondere für den Index — 1:

Xu = udx + « u + ß* + ' ' ' >

wo a, /!,... die Werte von A, B, .. . für A = — 1 bezeichnen. Durchdiese Formel kann man die Summe einer Reihe angeben, deren all-gemeines Glied bekannt ist.

Die Formeln von Lagrange sind von P. S. Laplace 1 ) auf eineandere Weise bewiesen worden.

Einiger kleineren Beiträge müssen wir hier Erwähnung tun.

Johann Friedrich Pfaff (s. o. S. 216) gibt in seinem Inau-guralprogramm von 1788 2 ) eine neue Methode zur Aufstellung derGrundformeln der Differentialrechnung. Seinen Ausführungen liegendie beiden folgenden Hilfssätze zugrunde: a) Sind x, y unabhängigeVeränderliche, P, Q, 1\, Funktionen von x, y, so folgt aus:

Pdx + Qdy = P 1 dx + Q x dy

notwendig P = P lt Q= b) Sind X, Y ähnliche Funktionen vonx bzw. y, und ist X = 1', so folgt X = Y = const. -— Will man nun

die Ableitung von log# ermitteln, so setze man - ^|*- = cp(x ): es

folgt dann aus:

log (« y) = log« + log y

durch Differentiation:

cp(xy) (xdy + ydx) = q>(x)dx + <p(y)dy,y<p(xy) = q> (x), xtp(xy) = <p (?/),

also:

und hieraus:

*) Memoire sur l’inclinaison moyenue des orbites des cometes,sur la figure de la terre et sur les fonctions, Mem. Sav. Etr. VII, 1773(publ. 1776); Oeuvres VIII, Paris 1891, p. 279—321. 4 ) Programm a inau-

gurale in quo peculiarem differentialia investigandi rationem ex

theoria functionum deducit; simulque praele c tiones proximo se-mestre hiberno habendas indicit J. F. Pfaff, Helmstädt 1788.