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Abschnitt XXYI.

xcp(x) = t/ 9 : (y) = const.,

c .

oder cp (x) = -- . Die Potenz x' n und die Kreisfunktionen lassen sichanalog behandeln. Aber auch die soeben benutzte Formel:

d ( xy ) = xdy -f- ydx

kann durch diese Methode nachgewiesen werden. Es sei:

d{xij) = Pdx + Qdy,

wo:

P=cp [x, y), Q = <p (y, *);setzt man y 2 — v, so ist:

xv = xy + xz,

also:

dxcp (x, v) + (dy + dz) cp (v, x)

= dx(p(x, y) + dycpiy, x) + dxcp{x, z) + dzcp{z, x).Es folgt hieraus:

(f, (x, v) = cp (x, y) + cp (x, z), cp (v, X) = cp (y, X) = cp (z, x),

also:

cp (y, x) = cp (x), cp (y + z) = cp (y) + cp (z) ;aus dieser letzten Funktionalgleichung ergibt sich aber:

4'i>J + z) = 4>'(y) = 4’'(z) = C,

oder

cp{x) = Cx,

daher ist:

d(xy) = Ciydx = xdy).

Setzt man schließlich y = 1, so ergibt sich (7=1, womit dievorgelegte Formel bewiesen ist.

Man kann durch analoge Betrachtungen zur Taylorschen Reihen-entwicklung gelangen. Setzt man dcp\z)= cp ( 2 ) dz, so ist:

dcp 1 x + y) = cp (x -f y) (dx + dy),

also:

* {x + V ) -

v dx cxj ’ '

d P d P

ist umgekehrt , so folgt P = cp (x + y). Schreibt man dem-

nach:

') Pf aff schreibt tP - + ’ j) -, -f *

dx dy