Differentiation und Integration.
<7 0 + !/) = p+p i \J + Pi ,f 4- p s y $ H-,
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so hat mau für y = 0:
P = <p (•»),
ferner:
*^±Ä_ / + A> + A y + ...,
“ A + H-,
woraus folgt:
A =P > = <f' (*), A = 2 A' = ! 9>" 0), A = 3 A' = 2 1 3 (*)> - 4
und schließlich:
cp p X + y) = cp (x) + y<p’(x) + v cp" («) + 3 cp'" (x) + • • •.
Andere, aber nichts wesentlich Neues enthaltende Beweise desTaylorschen Lehrsatzes gaben Lhuilier 1 ), Christoph Friedrichvon Pfleiderer (1736 —1821; s. o. S. 28, 29,351 ä ), Professor der Physikund Mathematik an der Universität zu Tübingen , und Simon Gurieff(1766 — 1813 i 3 j, Professor der Mathematik zu Petersburg . Lagrange 1 )brachte den Rest auf die nach ihm benannte Form; G. Fontana 5 )dehnte die Taylorsche Formel auf Funktionen von mehreren Ver-änderlichen aus.
Als eine Vervollständigung seines Lehrbuches der Integralrech-nung kann man eine Schrift von Euler 6 ) ansehen, in welcher er eine ein-
*) A. a. 0. *) Theorematis Tayloriani demonstratio, Tübingen
1789. Es ist diese eigentlich eine Dissertation, welche unter von Pfleiderers Vor-sitze von J. C. Harprecht und G. F. Seiz verteidigt wurde (s. o. S. 131). *) 0 bser-
vations sur le theoreme de Taylor, avec sa demonstration par lamethode des limites; application de ce theorfeme, ainsi demontre,a la demonstration du binome de Newton, dans le cas oü l’exposantest une quantitd fractionnaire, negative et incommensurable avecl’unite; suivie de la resolution d’un probleme qui concerne lamethode inverse des tangentes, par le moyen de ce theoreme (1799),Nova Acta Acad. Petrop. XIV’, 1797—98 (publ. 1805), p 30G —335. 4 ) Th.
des fonctions analytiques. 5 ) In Lotteri , a. a. 0. 6 ) De trans-
formationefuuctionum, duasvariabilesinvolventium, dumearum locoaliae binae variab iles introducuntur (1779), Mem.Acad.St.Petersb. III, 1809bis 1810 (publ. 1811), p. 43—50. Euler hatte in seinen letzten Lebensjahren derPetersburger Akademie eine große Fülle von Abhandlungen vorgelegt; er hatteauch den Wunsch geäußert, daß die Denkschriften der Akademie vierzig Jahre hin-durch nach seinem Tode Schriften aus seiner Hand enthalten möchten (s. o. S. 470).Dieser Wunsch wurde pünktlich erfüllt. Euler starb 1783; und im Jahre 1830,nachdem in allen von der Akademie herausgegebenen Bänden mehrere Abhand-lungen von Euler aufgenommen worden waren, während andere ein besondereszweibändiges Werk ausgemacht hatten (Opuseula analytica, Petersburg 1783,