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Abschnitt XXVI.

fächere Auflösung des folgenden Problenies entwickelt: Ist die Funktionf(x,y ) gegeben, und sind x, y bekannte Funktionen von t, u, so sollendie Ableitungen jeder Ordnung von f(x, y) nach x, y durch t, u aus-gedrückt werden.

Xicolao Colletti 1 ), Geistlicher und Professor der Philosophie,bemerkte die folgenden Analogien, die sich freilich aus der Definitiondes Differentiales von selbst ergeben: Die »i' e Differenz von:

d(d -f 1) • • • (d + m — 1)

ist konstant; dasselbe findet für das m ,e Differential von:

x"‘ + + •• • +

statt. Die «;' e Differenz der m teu Potenzen der natürlichen Zahlenist konstant; dasselbe geschieht vom w ten Differentiale von x m . Diem te Differenz von:

d(d + n) ■ • ■ (d -f- (m — 1)«)

ist ?»!«“; das m' e Differential von x"‘ ist m\dx m .

Zum Schlüsse müssen wir einige Betrachtungen Eulers überdie unendlichkleinen und die unendliehgroßen Größen erwähnen 2 ).Euler bemerkt, daß es neben den unendlichgroßen Größen, welchedurch ganze und gebrochene Potenzen von x dargestellt werden, noch

_i_

audere gibt, deren Ordnung unendlich kleiner ist als die von x" fürjedes noch so große n. Eine solche ist loga;, wie sich durchL’Hospitals Regel nachweisen läßt; andere derartige Größen sindlog loga:, log log loga - usw. Dagegen ist die Ordnung von a z größerals die von x" für jedes noch so große n.

Das logarithmisch Unendliche nennt Fontana 3 ) infinitum or-dinis semper infinitesimi oder infinitum paradöxum. Gre-

1785), enthielten die Archive der Akademie noch 14 ungedruckte Schriften,die in einem Supplementband iMemoires XI) zusammen mit 4 Schriften vonSchubert und IS von Fuß publiziert wurden. Selbstverständlich müssen wiralle von Euler liinterlassenen Schriften als unserer Periode angehörig betrachten,wenn sie auch viel später zum Druck gelangt sind.

*) Colletti, Dissertazioni d'algebra, Torino 1787 (1. Dell’ uso deisegni e — nel calcolo delle quantitä. 2. Consenso del calcolo ditferenziale colcalcolo delle quantitä finite. 3. Metodo per determinare nelle curve la ragionedelle coordinate, dalla ragione della differenza delle coordinate fra di loro, ovverodelT una, o l’altra, o di amendue insieme coli' arco corrispondente. Saggio nellesezioni coniche). * *) Euler, De infinities infinitis gradibus tarn in-

finite magnorum quam infinite parvorum, Nova Acta Acad. Petrop. 1778,P. I (publ. 1780 p. 102—118. s ) Disquisitiones physico-math ematicae,nunc primum editae, Paria 1780. Disq. 13. De infinito logarithmico.