Differentiation und Integration.

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Ein Beispiel mag die Anwendung dieser Klassifikation beleuchten.Es liege ein rationales Differential vor, welches stets auf die Form:

(I U = Qi tlx

gebracht werden kann, wo P, Q Polynome bezeichnen. Ist das Inte-gral rational, so muß es die Form:

z

11 = Q

haben, wo z ganz und rational ist, so daß es der zweiten Klasse an-gehört. Setzt man dann:

z = A. -f- lix (uX~ -1- • • •,

so wird man versuchen, die Größen A, li, C . . . durch die Methodeder unbestimmten Koeffizienten zu erhalten: erweist sich das als mög-lieh, und ist nur eine endliche Anzahl von diesen Größen von Nullverschieden, so ist das Integral rational.

Was die nicht algebraischen Integrale betrifft, erkennt Lambert,daß man den richtigen Weg eingeschlagen hat, da man mit den ein-fachsten, durch Tabellen angebbaren Fällen angefangen und dannversucht hat, die übrigen auf diese zurückzuführen. Es wäre abernötig, Reduzierbarkeitssymptome zu haben, aus welchen sich auchdie Reduktionsmethode ergeben möchte; und in dieser Hinsichtschlägt Lambert eine Klassifikation der transzendenten Integrale vor,auf welche wir unterlassen, näher einzugehen.

Aus dem schon oben angeführten Briefwechsel zwischen Lambertund von Holland ergibt sich, daß sich auch der letztere um eineReform der Integralrechnung bemühte; so versuchte er (18. Juli 1705)aus dem Verhältnis zweier Differentiale das Verhältnis der bezüg-lichen Integrale herzuleiten, was ihm selbstverständlich nicht gelang;später ( 6. Dezember 1767) zeigte er, wie sich alle Integrale der Diffe-rentiale xdx x_ dx W o y — y'bx —• x~. durch eins derselben

y ’ y ’ y ’ ’ J r ’

ausdriieken lassen, und sagte, daß die Integralrechnung viel vollstän-diger würde, wenn dies im allgemeinen möglich wäre.

Eine gründliche Erneuerung der Integralrechnung wurde auchvon Johann von Pakussi 1 ) (oder Pacussi oder Pacassi, geborenzu Görz im Dezember 1758, gestorben zu Wien am 8. Juni 1818,Hof baurat und W'asserbauinspektor) ersonnen. Er gibt diese Regel

L Pakussi, Abhandlung über eine neue Methode zu integrieren,Wienl785. — Versuch einer neuen Methode zu integrieren, Phys.Arbeitender einträchtigen Freunde (Wien ) II, 1786. — Joh. Bernoulli in LambertsBriefwechsel III, p. 368—372. — Siehe die Einwürfe von L. Oberreit in Lam-berts Briefwechsel V, p. 344ff.