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Abschnitt XXVI.

an: Liegt ein Integral / Pdx vor, so quadriere man Pdx und teilemit d{Pdx)\ dann setze man (man weiß nicht warum) dx 2 = xd 2 x-,das Resulttat ist der Wert des Integrales. In Formeln:

Pdx =

P s dx*

Pd i x -r P'dx-

P-x

P+Px'

Für die Integrale:

muß man auch die Relation dy 2 =yd 2 y berücksichtigen. Selbstver-ständlich führt diese vermeintliche Integrationsmethode nur in ganzbesonderen Fällen zu richtigen Resultaten, und es ist sehr leicht, Bei-spiele anzugeben, für welche sie nicht gelingt.

Samuel Vince fgest. 1821) 1 ) gibt eine neue Methode, die ercontinuation nennt, zur Herleitung von neuen aus bekannten Inte-gralformeln; so z. B. drückt er:

* x m dx r _x”dx _ r x”dx

(a n +x n ) v ’ J (« + bx m + cx 2 m j' ’ J |/l -x 1 ’ .durch:

/* x m dx /* x n dx Cx n dx r x”dx

J a n +x n> J a + bx m + c.i 2m ’ Jl-d J x m - b

aus.

Es gehören hierher vier Abhandlungen von Euler , welcheeinige unbestimmte Fragen der Integralrechnung betreffen. 2 )

Es seien 3 ) einige, z. B. drei Funktionen p, q, r von v gegeben;man soll eine derartige Funktion x von v auffinden, daß pdx, qdx,rdx integrierbar sind. Setzen wir:

dq , dr , dr'dp dp dq

nehmen wir ferner eine Funktion x" von v willkürlich an undsetzen:

„ dx"' , dx" dx’

X = dr" ’ X = dY ’ X = ~dj ;

*) A new method of finding fluents by continuation, Philos.Trans. LXXVI, 1786, p. 432—442. *) Euler hat sich auch mit vielen anderenanalogen Fragen vom Standpunkte der Differentialgeometrie aus beschäftigt;siehe Abschn XXIV. s ) Specimen singulare analyseos infinitorum in-determinatae (1776), Nova Acta Acad. Petrop. III, 1785 (publ. 1788^, p. 47 bis56. — Solutio problematis ad analysin infinitorum indeterminatamreferendi (1781), Mem. Acad. St.-Pet. XI, 1830, p. 92—94.