Differentiation und Integration.

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dann ist x die gesuchte Funktion. Es ergibt sich nämlich:

Ipdx = px — / xdp = )>x — f dx = px — x,fqdx = qx — fxdq = qx — /q dx — qx — qx' + /x dq= qx — q X + fdx" = qx — q X + x",frdx = ;•/- J xdr = rx — / r'dx = rx — r x + /x dr= rx — r x + f r"dx" = rx — r x + r"x" — / x'dr”= rx — rx + r" x" — / dx" = rx — r x + r" x" — x".

Euler berücksichtigt auch den Fall, in welchem verlangt wird,daß einige der Quadraturen fpdx , fqdx, ... bestimmten Typen an-gehören mögen. Ein verwandtes Problem ist folgendes: Zwei solcheFunktionen q, z einer Veränderlichen t zu finden, daß / qdz algebraisch

ist und j'^Vq 2 — 1 sich durch einen Kreisbogen ausdriicken läßt.Man nehme dazu eine willkürliche Funktion u von t, und setze:

d udt ’

p yi — o- ’

X =

i

dj)’

dt

= f pdx = px — I xdp = px — t,

dann findet man:

= Yx* + if ,

z Yl + Y.

x + py ’

Vi

X

— It,

arc tij

Man kann sich vornehmen 1 ), alle Differentiale d W zu bestimmen,die mit zwei oder mehreren vorgegebenen Funktionen p, multi-

pliziert algebraisch integrierbar werden. Für zwei Funktionen p, qwird die Lösung des Problems durch:

d \V =

p(dqd 1 v — dvd t (p -f- q(dtd-p — dpd i v) + v{dpd i q — dqd 1 p )(.pdq — qdp)-

oder, nach der heutigen Schreibweise, durch:

dWd t

p q vP <L v '

>t rr n

p q v

I '

p qpq

2

>

') Euler, De formulis differentialibus, quae per duas pluresvequantitates datas multiplicatae fiant integrabiles (1776), Nova ActaAcad. Petrop. VII, 1789 (publ. 1793), p. 3—21.