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Abschnitt XXVI.

gegeben, wo v eine willkürliche Funktion ist; man findet:

pdv — rdppdq — qdp ’

qdv — vdqpdq —qdp

Ein anderes Problem, dessen Lösung man Euler verdankt, istfolgendes, welches in der Theorie der rechtwinkligen Trajektorien

einer Oberfläche vorkommt 0: Sind p, q, P, Q Funktionen von - , sosoll man eine solche Funktion I, von x, y bestimmen, daß:

_pdx+Ilqdp 1()l x

integrierbar ist.

Auch mit der Integration von Differentialen zweiter Ordnungbeschäftigte sich der unermüdliche Euler. 2 ) Er fand als die Inte-grierbarkeitsbedingung für / Vdp:

2 Xdp + dM -r pdX= 0,

wo p = V eine Funktion von x, y, p ist, und:

d 1' = Mdx + Ndy - Pdp,

und wandte das erhaltene Resultat auf die folgenden besonderenFälle an:

a) V = J’x + Qy, wo P, Q Funktionen von p sind; es mußzwischen P und Q die Beziehung:

P' -rp(J + 2Q 0

bestehen, worauf sich P durch Q oder Q durch P ausdrticken läßt.

b) V — I Mx + Xq) II, wo von den Funktionen M, X, II von pdie zwei ersten vorgegeben sind; man erhält:

II = - —

KiM+Xp)’

wo C eine Konstante bezeichnet und:

log K =j

’ XdpM+Xp

’) Euler, Solutio problematis analytici difficillimi (1782^, Mem.Acad. St-Pet. XI, 1830, p. 125—130. *) Euler, De formulis differentia-

libus secundi gradus, quae integrationem adruittunt '1777), NovaActa Acad. Petrop. XI, 17 93 (publ. 1798), p. 3 — 26.