Differentiation und Integration.

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c) V— (px — y) n x (Px + Qy), wo P, Q zu bestimmende Funk-tionen von p sind; es ergibt sich:

P 7 + P Q + (m + 1) Q = 0.

d) V= (px — y) n ~ l (3Ix -f- N>/)n, wo 31, N, II dieselbe Bedeu-tung haben als unter b); es muß sein:

II — n

K"(M + A»

Die Anwendung der Infinitesimalrechnung auf die Bestimmungder Fläche eines sphärischen Dreiecks möge hier Platz finden. DerGedanke, die höhere Analysis auf die sphärische Trigonometrie anzu-wenden, war nicht neu; Euler hatte sogar nachgewiesen, wie sichdiese ganz elementare Lehre aus den Prinzipien der Variationsrech-nung herleiten lasse (diese Vorl., IIP, S. 560, 867).

Kästner 1 ) beschränkt sich darauf, die Fläche eines rechtwink-ligen Dreiecks zu bestimmen, da jedesDreieck als die Summe oder die Differenzzweier rechtwinkligen Dreiecke angesehenwerden darf.

Es sei (Fig. 78) A3IP ein sphärischesDreieck mit einem rechten Winkel P;der Pol von AP, I), muß auf der Ver-längerung von MP liegen. Wir führendurch D einen anderen, von BMP un-endlich wenig abweichenden größten KreisDmp, und durch M einen zu AP paral-lelen kleineren Kreis 31E. Dann ist 3IEpP das Element einerZone, und die Fläche von 3IEpP ist bekanntlich Pp ■ sin P3I.Setzen wir:

Fig. 78.

M A P = a, A31P = ß, AP = r\, cos AP = z ;

dann ist:

p d z

1 P = yi'JTg * > tang PM = sin ?/ tang cc, cos ß = cos rj sin u,also:

sin PM = V l ~ z ‘' tap g g = yT^T s sin a

Y1 -f- (1 — r 5 ) tang a ! p 1 — z’ sin or ’

und:

*) Dissertationes mathematicae et phjsicae. Diss. IX. De quae-stione, quot Bphaerae aequales inter datam mediam poni possint, ut omnes illam,et circumpositarum sibi vicinae, se mutuo tangant (p. 62—75).

Cantor, Geschichte der Mathematik IY.

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