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Abschnitt XXVI

- rf» = -

j/(l- 0(1 — a 1 ) 1/(1 — c*)(l — a») (1 — a*)’

b— ca (c — ab)da

(c — ab)da

und analog:

(6 — ac)da

V (1 — 6*)(1 — a *) (1 — a *) ’

also:

(b — ac)da

d arc cos 6

d arc cos 33

(l — o*)b

(1 — a*)b

(b 4- c) d a

d arc cos 93 + d arc cos 6

(1 + a)b

und endlich:

rf<3 = d arc cos 9t + d arc cos 93 + d arc cos 6 = d(A + B + C),oder:

3 = A + B C const.

Zur Bestimmung der Integrationskonstante muß man bemerken,

O O '

daß für .4 + # + C = y d ie Fläche des Dreiecks y ist. Es ergibt

sich hieraus:

const. = — •x,

und schließlich:

( Z^a + B+C-x.

B. Integration von rationalen Funktionen.

O

Diese Aufgabe war schon früher von Leibniz und JohannBernoulli (diese Yorl., IIP, S. 272ff.J vollständig aufgelöst worden. 1 )Es blieb also nur noch übrig, neue und elegantere Integrationsmetho-den aufzustellen, und besonders interessante Spezialfälle zu behandeln.Es möge uns daher erlaubt werden, auf die bezüglichen Schriften nurganz kurz hinzuweisen.

Von Fontana 3 ) haben wir einen neuen Beweis des CotesschenSatzes und die Anwendung dieses Satzes auf die Berechnung des

Integrals j^

*) Freilich mußte dazu die Auflösbarkeit jeder algebraischen Gleichungpostuliert werden, während die bezügliche Frage damals noch nicht gelöstworden war, was Euler in seiner Integralrechnung (I, p. 34) ausdrücklichbetont. Er fügt aber hinzu: „Hoc autem in Analysi ubique postulari solet, utquo longius progrediamur, ea quae retro sunt relicta, etiamsi non satis fuerintexplorata, tanquam cognita assumamus“. *) Analyseos sublimiorisopus-cula, Venedig 1763 (Op. 1. De formularum quarumdam trigonometricarumintegratione. Op. 2. De theoremate Rogerii Cotes, ejus usu, utilitate, praestantia.Op. 3. De invenienda formula radii osculatoris in curvis ad umbilicum relatisex data formula ejusdem in curvis relatis ad axem, eruendisque inde curvarumevolutis).