Differentiation und Integration.

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Am Ende des ersten Bandes seiner noch oft zu erwähnendenMathematicalmemoirs (zwei Bände, London 1780 und 1780) veröffent-lichte Landen (selbstverständlich mit den Bezeichnungen der Fluxions-reehnung) ein sehr ausführliches Verzeichnis von Integralen, welche,nach seiner Angabe, größtenteils neu sind; es kommen hier aberauch die ganz bekannten rationalen Integrale:

fxf'dx, j\a + bx n )‘

usw. vor.

Francesco Pezzi (s. o. S. 448), Genieoffizier und Professor derMathematik an der Universität zu Genua , gab in den Memorie dimatematica e fisica della Societä italiana delle scienze zwei Abhand-lungen 1 ) heraus, in welchen er sich vorsetzte, die Integrale:

x- q dx

(a fi- bx -)- cx*) p ’

l

(A +Bz) dz

— 2 abz cos qc -f- b*z*y> ’

I * x- q d x j x - q dx

J (u -j- bx ex* + /x 9 )'' ’ J (a + hx + cx ! -f- fx s -f- ?ix 4 ) p

ohne Hilfe von Rekursionsformeln zu berechnen.

Euler 2 ! zeigte, wie man eine rationale Funktion ohne den Ge-brauch von imaginären Größen integrieren kann, und wandte seine

Theorie auf das

an, wo P ein Polynom bedeutet,

und:

Q = 1 ± x 2iQ = 1 + 2P cos r t -(- x 2i

oder:

ist.

Andererseits lehrte Euler 3 ), wie nützlich die Einführung der

*) Ricerca sopra l’integrazione sviluppata in una serie finita

{A -(- Bz)dz

essendo p un numero qua-

della formola

(a*— 2 abz cos tp -(- b*z T > p '

lunque intero, Mem. Soc. It. IV, 1788, p. 577—588. — Integrazione inserie finite delle formole

(a + bx -f- cx*) p ’ (a -f- &x -f- ex* -j- fx’) p ’ (n -f- bx + cx t fx 9 -j- hx*) p ’

essend o p e q de’ numeri qualunque interi, Mem. Soc. It. VI, 1792, p. 256bis 308. *) (Nova methodus integrandi formulas differentiales ratio-

nales sine subsidio quantitatum imaginariarum, Acta Acad. Petrop.1781, P. I (publ. 1784 , p. 3—47. — Siehe auch: De resolutione fraetionumcompositarum in simpliciores (1779>, Mem. Acad. St.-Pet. I, 1803—1806(publ. 1809), p. 3—25. *) De integrationibus maxime memorabilibus

ex calculo imaginariorum oriundis (1777), Nova Acta Acad. Petrop. VII,