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Abschnitt XXVI.

imaginären Größen bei algebraischen Integrationen ist. Es sei:

V-fzdz,

wo Z eine Funktion von z ist; setzt man:

z = x + iy, Z = .1/ + iX, V = P + iQ,

so ist:

P + i Q = /Ul/ + iX)(ilx + idy),

also:

Xdy), q =J[xdx + J Idy).

Die Integrierbarkeitsbedingungen für diese Ausdrücke sind:

dM dN cN dM

dy dx ’ dy ex’

und man hat:

Euler verifiziert diese Beziehungen an einigen einfachen Inte-

r> o

gralen von rationalen Funktionen, und macht davon eine Anwendung

v (cos <p + i sin cp). Wird

auf die Berechnung von

O

ferner zwischen x und y eine Beziehung vorausgesetzt, so verwandelnsich P und Q in Integrale einer einzigen Veränderlichen; läßt sichdann V leichter als P und Q auswerten, so hat man in der Zer-legung von V in seinen reellen und imaginären Bestandteil ein Mittel,

O Ö c* 7

den Wert von P und Q zu erhalten. Es sei z. B.:

1789 (publ. 1793), p. 99—133. — Supplementum ad dissertatioiiem prae-

z m ~ l dz

cedentem, circa integrationem formulae / - - ,casu quo ponitur

J 1 — z”

z = v (cos qp -)- i sin qp), ebenda, p. 134—148. — Ulterior disquisitio de for-mulis integralibus imagiuariis (1777), Xova Acta Acad. Petrop. X, 1792(publ. 1797), p. 3—19. — Deinsigniusu calculi imaginariorum in calculointegrali (1777), Nova Acta Acad. Petrop. XII, 1794 (publ. 1801), p. 3—21. —De integrationibus difficillimis, quarum integralia tarnen aliundeexhiberi possunt (1777), Nova Acta Acad. Petrop. XIV, 1797—1798 (publ1805), p. 62—74. — Auf die beiden ersten Abhandlungen bezieht sich dieSchrift von Fuß: Enodatio difficultatis ab 111. Eulero in dissertationede integrationibus memorabilibus ex calculo imaginariorum oriun-dis geometris propositae (1790;:, Nova Acta Acad. Petrop. VII, 1789(publ. 1793), p 175—188.

*) Es ist fast überflüssig, daran zu erinnern, daß diese Gleichungen vielspäter die Grundlage der Cauchj-Riemannschen Funktionentheorie ge-worden sind.