Differentiation und Integration.

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/* z m ~ l dz

J (« + &,«) 2 5

setzen wir z = ti(cosfl + i sin ff), und betrachten ff als konstant ( wasmit der Voraussetzung = const. gleichbedeutend ist); es ist dann:

dz dv

Z V ’

a + bz” = a -f- bv” cos «ff + ihn" sin «ff = s(cosqp + i sinqp),

wo:

s 3 = a 3 -j- 2 abv n cos «ff + b 3 v 3 ”, taug qp =

bv” sin n ff

a + b v" cos n 0- ’

folglich:

V= j- ~ x dV [cos(»;ff — Aqp) i sin («i ff — Aqp)].

Es ergibt sich aber aus den obigen Beziehungen:

v =

a sin qp

b sin (n ff — qp) ’ S sin (nff — qp) ’

a sin n fl'

also:

/

nb ” sin« ff 1 «/

z-i r

g - ,: n h

nb " sin «ff' - 1 • '

— 1 . . <t- —l

sinqp" sin («fl — qp) ” cos (»(ff — X(p)d(p,

sin qr “ sin («fl — qp) " sin (»( ff— k(p)d<p.

Ist insbesondere A= ”* K so verwandelt die Substitution:») '

t =

1 _

n\ n

(a + bz”)

das Differential dV in ein rationales Differential; es ergibt sichnämlich:

v _ t‘t m - l dt

, 1 bt” — 1 '

Man hat andererseits in diesem Falle:

sin qp n cos Im fl — ■— qp I

- ! - /

m m ^ J

sin (n fl — qp)

dcp,

nb" sin « fl ”

l ) Für ein gebrochenes X gehört das Integral I' eigentlich nicht hierher;wir behandeln es aber des Zusammenhanges wegen an diesem Orte.