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Abschnitt XXVI.
n b n sin n tt"
/ sin ip " sin ym isin (»i tt —
in (»"*--£*)
<P)
d<n
setzt man cp = nco und bezeichnet mit a, ß, y, d konstante Größen,so nehmen diese Integrale die folgende Form an:
O O
( 1 )
d co
n — m
sin n co »
a sin mco -j- ß 003 ma >y sin n co -)- 8 cos n co
Es ergibt sich also der Satz, von welchem Euler auch einendirekten Beweis liefert: Jedes Integral vom Typus (1) ist durch ele-mentare Funktionen ausdrückbar. Der Satz läßt sich wie folgt ver-allgemeinern: Sind P, Q rationale Funktionen von x n , so ist:
Qx”- 1
m
dx
(a + 6 x”) "
integrierbar; sind P, Q rationale Funktionen von sin 2mm, cos 2mm,so ist:
. » m
J (P sin mco + Q cos m co ) d ■ sin nco”
integrierbar.
So nützlich aber die Theorie der imaginären Größen sein möchte,so konnte sie nicht umhin, bei der bisher erreichten unvollständigenEntwicklung, zu Paradoxen zu führen. So warnt d’Alembert 1 '), daßman vorsichtig verfahren muß, so oft man mit imaginären Größen zutun hat. Es ist z. B.:
('du I' d u
Jl + »' “/(l+ »«)(!■
■ tu)
1
o
/'(
du
1 -f- i u
+
d u \1 — i 11/
1 l 1
— locc -2 i ° 1
-f- ui— ui
Setzt man u = iv, so folgt übereinstimmend:
I du _ . C dv
f l = i -7’
1
2
log
1 + v1 — v
l log
1 — Ml1 -f- ii i
-f- ui— !(»’
setzt man dagegen m = — iv, so hat man:
(du ■ I d v t , 1 4- v
,_ll + u , = — l J 1 — 7* = ~ 2 0g 1 — v ’
woraus sich nur dann das frühere Resultat wiederum ergibt, wennstatt v nicht — in, sondern iu gesetzt wird.