Differentiation und Integration.

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Zu analogen Betrachtungen gibt das von d’Alembert schonfrüher (Suite des recherches sur la figure de la terre) berück-sichtigte Integral:

l‘ d - , ^>1)

„ i y i — x 1

dx

dx

Veranlassung. Xach d’Alembert ist - nicht = -• —

ö y\ — x i i yx* * — l

son-

dern = u x -- denn Yx ! — 1 positiv genommen ist gleich 7 ]/1— x 2yx * — l

positiv genommen. Man könnte auch setzen:

dann wäre:

Yx 2 — 1 = — r/i — x 2 ;

/' ..... _

•' Ix* 1

x + Vl ~ xi

log X + V f~ 1 = log , 1

also:

/

dx

V1 — ar

“ — i log

x +

yi — x s

- i log —

° ix + y 1 — x*

. , x 4- iy 1 — x 1= 1 log— r K . - ,

ein Resultat, welches mit dem tinter der Voraussetzung:

Yx 2 — 1 = t"|/l — x 2

erhaltenen übereinstimmt. Dazu bemerkt Giuseppe Contarelli ineinem viel längeren Brief, als es der Gegenstand verdiente 1 ), daß die

letzte Gleichheit unrichtig ist, und daß 1 — nicht gleich

ix -)- yd — x*

x 4 i Y i — x i , son( j eni gleich i (x + i )/l — x 2 ) ist. 8 )

C. Integration von irrationalen Funktionen.

Die Integration der einfachsten irrationalen Funktionen war seitder früheren Periode her schon bekannt. Euler und seine Schüler

J ) Lettera del sig. Abate Giuseppe Contarelli al Sig. Avv. PaoloCassiani pubblico professore di filosofia e matematica nell’ Uni-versitä di Modena, Nuovo Giom. lett. It. (Modena ) XIV, 1778, p. 237—262.

*) Über die Integration rationaler Funktionen siehe auch den Aufsatz vonJacopo Riccati: Dei polinomi (Opere del conte Jacopo Riccati , 4 Bde.,Lucca 1761 —1765, Bd. III, p. 67—78), der aber schon früher in den Institu-zioni analitiche von Maria Gaetana Agnesi (1748) gedruckt worden war.