Differentiation und Integration.

717

e

) l ) v =

(1 -)- ,r*) ! da'

(1 +*»)(1 ± 6 x ! + *‘) 4

Setzt man für das obere Vorzeichen:

1 + üx 2 + X 1

1 — x

so folgt:

v'dqP 5

v* *dp

q s

2 ) 4 q 4, =■= 2, dx =

also:

4 (p — q)p i q i dx 4 p s q i dx ip i q > dx

(P + 2) (P* + 2*) ?’(P 4 — 2 4 ) ®’(P 4 —2 4 ) v t (p i — q*)

2p'-dp 2q % dq\ — p* 1 — q 1 ’

wonach sich die Integration unmittelbar ausführen läßt. Für dasuntere Vorzeichen kommt man zum ersteren Falle durch die Substi-tution x = iy wieder.

(3 -(- x*)dx

(1 -f- x*) (1 + 6a: ! + x 4 ) *

Setzt mau:

so folgt:

dy _ r y*dy

5

= 27 [P+ <?].

i - ?/ 4 ) j/i + y 4 ./ (i - y 4 ) t'i + 2/ 4 _

Durch die Substitutionen:

t, V 1 + y

erhält man:

u* du

g) s ) Eine Verallgemeinerung von f) bilden die zwei folgendenIntegrale:

*) Integratio formulae differentialis maxime irrationalis,quam tarnen per logarithmos et arcus circulares expedireliceat (1777), Nova Acta Acad. Petrop. IX, 1791 (publ. 1795), p. 118—126.

d2(3-|-z 3 )

*) Evolutio formulae integralis I- . - - ~ per loga-

J (l + z^fl + tz' + z* *

rithmos et arcus circulares, Nova Acta Acad. Petrop. IX, 1791 (publ.

1795), p. 127—131. *) Formae generales differentialium, quae etsi

nulla substitutione rationales reddi possunt, tarnen integrationemper logarithmos et arcus circulares admittunt (1777), Nova Acta Acad.Petrop. XI, 1793 (publ. 1798), p. 27—77.