Differentiation und Integration. 721

von diesen Integralen läßt sich das erste durch die Substitution:

v = V 1 + H 3

berechnen, während das zweite in das erste durch die Substitution

t = * übergeführt wird.

Noch andere, aber nichts wesentlich Neues darbietende Integralefinden sich in dem oben angeführten Anhänge zum ersten Bande derMathematical Memoirs von Landen.

Der unten noch öfters zu erwähnende 6. F. Fagnano gab 1 ) einenneuen Beweis des Satzes, nach welchem sich die Integration von

x m dx _

(c + e'jy’

wo m und n beliebig sind, p aber ganz und positiv ist,

x m d x

auf diejenige von - zurückführen läßt.c + ex n

Eine Bemerkung Eulers 8 ) verdient, trotz ihrer Einfachheit, her-vorgehoben zu werden. Nicht alle Integrale, die durch elementareFunktionen ausdrückbar sind, hissen sich durch eine Substitutionrationalisieren; es kommt zuweilen vor, daß ein Integral sieh in eineSumme von Integralen zerlegen läßt, deren jedes einer besonderenSubstitution bedarf, um rationalisiert zu werden. Dieser Umstand istin den oben behandelten Integralen wiederholt vorgekommen; einweiteres Beispiel ist:

f{ , a

J UH

+ ±_. + c - '-f- X 1 j/l-f ^/l -f- X*

dx.

Auch die binomischen Integrale:

/* -

J x m ~ 1 (a + bz”) ’’ dx

waren schon von Newton (diese Yorl., III 8 , S. 185—186) behandeltworden; er hatte die beiden Fälle erledigt, wo — oder — - 4 - ,u ganz-

zahlig ist. Euler 3 1 setzte sich vor, die Integrierbarkeitsfälle direktaufzufinden; er kam selbstverständlich auf die zwei NewtonschenFälle, und fügte hinzu: „Facile autem intelligitur alias substitutionesliuic scopo idoneas excogitari non posse“. Es sollte aber noch ein Jahr-hundert dauern, bevor diese Behauptung bewiesen werden konnte. 4 )Auf die binomischeu Integrale bezieht sich das Schriftchen:

') Theorema calculi integralis, N. Racc. d’opuscoli scientifici e filologiciXXII, 1772 , op. III. l ) Supplementum calculi integralis etc. (s. o. S. 716 ).— Specimen integrationis etc. (ebenda). ’) Inst. calc. int. I, p. 67 .

*) Bekanntlich wurde der Beweis zuerst von Tchebvcheff erbracht (J. de Liou-ville XVni).