Differentiation und Integration.
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sich auch Carlo Francesco Gianella 1 ) (s. o. S. 681). Er be-handelte das Integral fxTX n dx, wo:
X = fx m + gxf 1 ' + hx m ” + ■ ■ •, m > m > m" > • ■ • für r > 0;
X = f -f- gx m + hx m ' -}-•••, m < m < • • • für r < 0,
und suchte erstens hinreichende Bedingungen dafür aufzustellen, daßdie Integration in geschlossener Form ausführbar sei, zweitens dieGesetze zu bestimmen, denen die Koeffizienten der Reihe gehorchen,durch welche das Integral im allgemeinen ausdrückbar ist. Daß aberdie von ihm angegebenen Bedingungen nicht hinreichend sind, läßtsich leicht ersehen.
Lacroix 2 ) bemerkte, daß einige Integrale, wie z. B.:
/* JL
J x m ~ 1 dx(a + bx n + cx 3n + •••)’',
Rekursionsformeln zulassen, welche den für die binomischen Integralegeltenden analog sind, und daß sich andere auf mehrere aufeinander-folgende binomische Integrale zurückführen lassen. Es finden sichauch Rekursionsformeln bei Fontana 3 ) (s. u. S. 725), Lorgna 4 ) undFrisi 5 ).
Es mögen schließlich einige Untersuchungen von Condorcet 6 )kurz erwähnt werden, welche eine größere Tragweite haben. Unterden von Condorcet aufgestellten Sätzen heben wir den folgendenals Beispiel hervor:
Ist:
V + Ar 1 !'- - o,
wo Aj eine ganze rationale Funktion von x vom i teD Grade bezeichnet,so läßt sich das Differential ydx auf die Form Pdx -f- Qdy bringen,wo P , Q rationale Funktionen von x, y sind, und Pdx + Qdy einexaktes Differential ist; unter denselben Voraussetzungen läßt sichtfydx auf die Form eines exakten Differentials <?(Pdx + Qdy)bringen.
Es ist aber zu beachten, daß Condorcets Beweise sich einzicrund allein auf die Abzählung der Konstanten stützen, eine Beweis-
’) De integratione indefinitinomii, Mise. Taur. IV, 1766—1769, P. II,
p. 253—271. — De fluxionibus earumque usu, Mailand 1777, § 68ff.
*) Traitd de calcul differentiel, Art. 395 ff. *) Analyseos subli-
mioris opuscula, Venedig 1763, Op. I. 4 ) Opuscula mathematica et
physica, Verona 1770, Op. V. 6 ) Pauli Frisii Opera, Bd. I, Mailand 1782.
6 ) Theoreines sur les quadratures, Mem. Acad. Paris 1771 (publ. 1774),p. 693—704.
Canto», Geschichte der Mathematik IV.
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