Differentiation und Integration.

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/ <?<)P , nicht liefern können; er berechnet diese Integrale auf

J cos cp ’ J sin cp ’ a

anderem Wege, und beweist, daß seine Formeln mit den Eulerschen 1 ):

j colcp = l0 S tang (4 + y) > JZ = l0g tang 2

übereinstimmen.

Die zu (21 analogen, für die Hyperbelfunktionen geltenden For-meln finden sich in den Institutiones analyticae von Riccatiund Saladini").

Noch bevor die Riccati sehen Briefe an die Öffentlichkeit traten,widmete Fontana das erste seiner oben angeführten Opuscula derUntersuchung der vier folgenden Integrale, die, sagt er, soviel ichweiß, niemand bisher betrachtet hat:

I Sm V m d f > I * C0S d 95 /sin (p" COS <p m d<p, f- - — -;

»/ co8 cp sin cp 'J J sin cp” cos cp m

hier bezeichnen m und n positive, ganze oder gebrochene Zahlen.Fontana schickt vier Rekursionsformeln voraus, welche:

beziehentlich mit

‘ z n dz

(1 + bz-y

f z”dz r z n ~ m dz r z n + m dz f z n dz

J(1 + bz m y- 1 ’ J(i + bz m y- i> J(1 J r bz m y+ 1 ’ J(i + bz m y +i

verbinden. Wendet man auf die vorgegebenen Integrale die Substi-tution x = cos cp an, so lassen sich die dadurch erhaltenen Integralefür ganzzahlige m , n vermittels der erwähnten Rekursionsformeln inallen Fällen berechnen. Sind m, n nicht zugleich ganzzahlig, so istdie Integration nicht immer ausführbar; Fontana erörtert aber einigeFälle, in welchen die Berechnung der Integrale möglich ist.

Carlo Maj 3 ) berechnet durch partielle Integration (ein Ver-fahren, das er, mit Beschränkung auf die von ihm betrachteten Inte-grale, «ausführlich beschreibt) die Integrale:

'fiogx”dx und j x± m \ogx n dx,

und leitet hieraus die Integration von fotfdx ab; es ist nämlich:

') Euler, Reeherches sur l’effet des moulins ä vent, Hist. Acad.Berlin XII, 1856. *) T. II, p. 151. *) Diversi metodi per l’inte-

grazione di alcune formole logaritmiche, Atti dell’ Accad. delle Scienzedi Siena detta dei Fisiocritici III, 1767, p. 278—300.

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