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Abschnitt XXVI.

x*dx = Jdx + ^jJx \ogxdx + ^ jx i log x 3 dx -)-.

Eine kurze, aber inhaltsreiche Arbeit widmet Giovanni FrancescoFagnano(1715—1797, Archidiakon von Senigallia, Sohn des berühmtenGiulio Fagnano , s. o. S. 34) der Berechnung einiger transzendentenIntegrale. 1 ) Sein Hauptzweck ist, nachzuweisen, daß die Integrale

j , ^ > • • • durch bloße Logarithmen aus-

tangqp’ Jtang2<jp’ Jtang3g>’ 8

drückbar sind, wie Johann Bernoulli in seiner Arbeit Continuatiomateriae de trajectoriis reciprocis von gewissen rationalen, indiese unmittelbar transformierbaren Integralen behauptet hatte. Ist:

taug (p = t, cotg cp = u, sec (p = s, cosec cp = r,cos cp = x, sin cp — y, sinvers cp = q = 1 — x,

Absz. Kompl. cp (d. i. die Projektion des Bogens n — cp auf den Durch-messer) = l = 2 — q, Sehne cp = m = Y'2q,

Sehne (2 jt — cp) =p =]/2?,

und werden durch die gleichen größeren Buchstaben die entsprechen-den Funktionen von ncp bezeichnet, so erhält Fagnano, von der Diffe-rentialgleichung:

( 3 )

dcp =

dt

1 + P

1 cl Tn 1 - T i

ausgehend, die folgenden Relationen:

T =— i 1 + **)” —

* (l + ifV + fl

U = i (» +»')” + ( !t — 0"

(«+ »•)’■- 0<-*■)“’

s = _2 d) _

(l -F i yp~— 1)" + (l — i Yb*-— l j" ’

2tr n

~ (v 6 t7 ^T + i) n - (]/^T - 0- ’

x = j ((* + iyi- x*y + ( x -i]/i~ x*y) ,

*) Iutegratio quarundam quantitatum differentialium, quaeoriginem habent a lineis, quae ad circulum referuntur, Nova Actaeruditorum 1764—1765 (publ. 1767), p. 361—371, abgedruckt in Nuova Raccolta

d’opuscoli scientifici e filologici XXII, 1772, op. I, 16 S.