Differentiation und Integration.

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kann aber allgemeinere lntegraltypen erhalten, wenn man folgendes be-achtet. Setzt man x = sing', so folgt:

dw = dx , cos <p = )/l — x 3 , sin 2p cp = x ]/l — x t ■ X,

T l/l _ -y*

yi — x-

cos 2p qc = X u sin (2p + 1)<F = zXj,, cos (2p + 1)<T =Vl — X 3 ,

wo X, X 1? Xj, X 3 ganze rationale Funktionen von x i sind, so daß:

sin (2p + l)qp, cos 2pqp, sin 2pqp(/qp, cos (2p + l)qp t/qpkeine Wurzelgrößen enthalten.

Mit der Integration von transzendenten Funktionen beschäftigtesich wiederum Fagnano in einer zweiten Arbeit 1 ), wo er, neben denschon bekannten Integralen:

/ dx I dx If sin x ’ ,i coax ’ J

noch einige neue berechnete, nämlich:

I x"‘ sin log xdx, f x m cos log xdx,

und zeigte, wie sich Rlu xdx und coaxdx durch Reihen integrierenlassen.

Daß auch hier wie sonst überall der Name Eulers wiederholtvorkommt, mag r nicht befremden. Von ihm haben wir, wastranszendente Integrale betrifft, vier Abhandlungen aus den Jahren1776—1777.

Euler benutzt für die Integration von:

sin mipdrpsin ncp

die Theorie der imaginären Größen. 2 ) Setzt man:

cos qp + i sin qc,

*) Reductio functionum tränscendentalium simplicium, quaea circulo petuntur, et quarum universalior est usus, Nova Actaerud. 1774 (publ. 1777), p. 385—420. Die erste Abteilung dieser Schrift wurdein Nuova Raccolta d’opuscoli scientifici e filologici XXII, 1772, op. II, 19 S.,

*) De summo usu calculi imaginariorum in analysi

abgedruckt.

(1776), Nova Acta Acad. Petrop. III, 1785 (publ. 1788), p. 25—46. — Vgl. obenS. 711.