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Abschnitt XXVI.

■ JO dtt m — tlab = — -- - ;

t t n — t~ n

sind m und n ganze Zahlen, so hat man nunmehr mit einer rationalenFunktion zu tun.

Auch die weit komplizierteren Integrale:

■ + co)dv

wo:

jj / *cos (& -j- w) d v /‘sin (tt -)-

J Vs ’ Vs

tang2 <3 = — lco>2fr > s = yi-2®*cos2d + «*,

werdeix mit Hilfe imaginärer Größen berechnet. 1 ) Setzt man nämlich:

J = arc sm z = x + ty, z = v (cos & + i sin &),

so folgt:

v cos ff = ^ sin x (e y + e~»), v sin 0- = | cos x (e y — e - »),

woraus sich x und y leicht bestimmen lassen; ferner, unter der Vor-aussetzung, daß & konstant sei:

l> = x, Q = y.

also:

Für das Integral 8 ):

Y _ /M>dqp (F’sin Äqp + ß cos JLqp)

J V (a cos nt

itp -(- b sin nqp)

wo 0 eine rationale Funktion von tang ntp bezeichnet, setzt Euler:

cos qp + i sin qp

woraus folgt:

Va cos n tp b sin n qp

- X,

, 1 — ax" ,

taug ny= , dcp

bx — i

dx

und:

P

. ( a—ib „\x (/ — ^ x j

/ * <P dtp (cos qp -f i sin qp/' ^ X / ‘ /1 — ox"\ x' 1 ~ 1 dx

]/(o COS n qp -f ft sin n qp/ 2 * f \t>*" — * / j _ a * ^ ’

*) De integrationibus difficillimis quarum integralia tarnenaliunde exhiberi possunt (1777), Nova Acta Acad. Petrop. XIV, 1797 und1798 (publ. 1805), p. 62 — 74. *) De formulis differentialibus angu-

laribus maxime irrationalibus, quas tarnen per logarithmos etarcus circulares integrare licet, M. S. Acad. exhib. 1777; Inst. calc. int.IV, p. 183—194.