Differentiation und Integration.

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Daniel Melanderhjelm 1 ) (1726 — DUO; siehe oben S. 28) ver-suchte den Ausdruck:

dV = e nz x"‘ (n + bx + • • • )IPS'Ulx,

wo:

B — c + fx + yx i + • ■ S = h + hx -f Ix 2 * + • ■ •ist, dadurch zu integrieren, daß er:

V = e nx x m + 1 (A + Bx + • • ■)R p+l S' l + 1

und insbesondere:

a I e” z x m R p S' ! dx = Ae” x x"‘ + l R p+l S' li ~ 1 ,b J 1 <e nx x m + 1 R p S' l dx = Be nz x m + 2 R p+i S' l + l ,

setzte, was aber, wie er anscheinend nicht bemerkte, im allgemeinennicht möglich ist. 2 )

E. Reihenintegration, angenäherte Integration.

Die Reihenintegration wurde in unserer Periode um so häufigergebraucht, als man sie, ohne auf deren Zulässigkeit zu achten, alsein ganz allgemeines Integrationsmittel betrachtete. Aber eben darum,daß sie ohne jedes Bedenken angewandt wurde, gab sie zu keiner theo-retischen Erörterung Anlaß; man beschränkte sich darauf, das allge-meine Glied der Entwicklung in jedem besonderen Falle zu ermitteln.Wir können uns also über diesen Gegenstand ganz kurz fassen.

Euler widmet der Reihenintegration ein besonderes Kapitelseiner Integralrechnung, wo er rationale und irrationale Integraledurch diese Methode berechnet; weitere Integrale werden auf gleiche

l ) Integratio formulae differentialis

N nz x m dx (a -f- bx ~l~ cx s -j- kx } -(- Ix 4 -f- etc.) (e -j- fx -f- gx i + etc.^(h -f- rx -)- tx 8 -f- etc.) ? ,

in qua N est numerus cuius logarithmus hyperbolicus est unitas,quantitates vero n, m, a, b, c, k, 1 , e, f, , g , h, r, t, jj, q quaelibet datae(1798), Nova Acta Acad. Petrop. XII, 1794 (publ. 1801), p. 114—124.

*) Sind nämlich S, S Polynome von den Ordnungen r, s, so ist x m R p S >

von der Ordnung m -)- rp -)- sq, und

folglich ~ x j e nz

x m R p S l dx von derselben

Ordnung, während x m +1 R p+ 1 S ?+ 1 von der Ordnung:

ist.

»« + 1 + r (p + 1) + s (q + 1)