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Abschnitt XXVI.

Weise an anderen Stellen ausgewertet. Ein anderes Kapitel beschäftigtsich mit der Entwicklung der Integrale nach Sinussen und Kosinussenvon Vielfachen der Veränderlichen. Eine im IV. Band der Integral-rechnung erschienene Abhandlung 1 ) betrifft die Reihenentwicklung

des Integrals f x m ~ l dx (A + x”) 1 , wo A eine Konstante bezeichnet.

M ascheroni beschäftigt sich in dem oben angeführten Werkemit der Bestimmung der Konstante in der Gleichung:

= const. + log log 2 +

I log Z J_ log£*1 1 ! * 2 2 !

dazu bedient er sich aber ohne jedes Bedenken divergenter Reihen,was übrigens zu jener Zeit geläufig war. Ferner berechnet er durchReihenentwicklung die Integrale:

rdx logx rdx logx P dxJyi—x*’ J 1+**’ J log tang x

Auch mit angenäherter Integration beschäftigt sich Eulers In-tegralrechnung. Ist:

y =J Xdx,

wo X eine Funktion von x bezeichnet, und ist:

y = l>, b', X = A,A',A",...

für:

x = a, a, a",.. .,

so kann man X als konstant und gleich A, A', A", ... in den Inter-

*) De resolutione formulae integralis Jx m 1 dx (A + in se-

riem semper convergentem. Ubi sirnul plura insignia artificia circaserierum summationem explicantur, M. S. Acad. exhib. 1779Inst. calc.int. IV, p. 60—77. — Auf diese Arbeit bezieht sich die Schrift von Fuß: De

resolutione formulae integralis jx m ~ 1 dx(A -(-x")* in seriem semper

convergentem; ubi simul serierum quarundam summatio directatraditur (1797), Nova Acta Acad. Petrop. XV, 1799—1802 (publ. 1806), p. 55—70,sowie die Schrift von Pfaff: Observationes analyticae ad L. EuleriInstitutiones calculi integralis, Vol. IV, Suppl. II et IV (1797), NovaActa Acad. Petrop. XI, 1793 (publ. 1798), Hist., p. 37—57, wo auch die folgendeallgemeine Entwicklung aufgestellt wird:

ß

yx m dx= ----- x m + 1 y-* m + 1

* m + V

(»« + !)(»» + 2 )