Differentiation und Integration.

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vollen aa, aa", a"a", . . . ansehen; man hat dann annäherungs-weise:

b' = b + A(a '— a ),

b" = b -+- A(a — a) -)- A'(a" — a),

fc'"= b + A(a — a) + A'(a" — a') + J."(a"' — et"),

Will man eine größere Annäherung erreichen, so kann manX = / Pdx setzen, wo P als konstant in jedem Teilintervall ange-sehen wird; es ergibt sich so:

y = b + X a (x - a) + \-P a [x - a)\

wo X a , P a die Werte von X, P für x = a bezeichnen.

Alexis Fontaine (diese Vorl., IIP, S. 587) 1 ) gibt ohne Beweisdie folgende Annäherungsformel:

/«*)** - A- [/-(p) + r(y) + • ■ • + rf-p ■>);■

Laplace wurde von seinen tiefgehenden Untersuchungen überWahrscheinlichkeitslehre zum Probleme geführt, das Integral:

x

I u'u ... cpdx ,

,V

wo w, w<p Funktionen von x bezeichnen und s, s',... sehr großeZahlen sind, in eine konvergente Reihe zu entwickeln. Die Erörte-rung dieses Problems und die verwandten Untersuchungen füllen eineAbhandlung von mehr als 130 Seiten aus 2 J; wir müssen uns damitbegnügen, die Grundlage der Laplaceschen Behandlung wiederzu-geben.

Setzen wir:

y = y{%) = w * m v • ■ • <p, y(») = Y,

~ V dy = *'.’*)> v{ ^) = r > y = Ye-‘-,

dann ist:

dx _ ^ d*x _ vdv d" x vd(vd(v ... dv))

dt ~ V > dt* ~ Tx’ ' ‘ ■’ dt" ~dx" ’ " '»

>) M emoires donnes ä l’Academie royale des Sciences, non im-primes dans leur temps, Paris 1764. *) Memoire sur les approxi-

mations des formules, qui sont fonctions de trfes grands nombres,M&n. Acad. Paris 1782 (publ. 1785), p. 1—88, 1783 (publ. 1786), p. 423—467;Oeuvres X, Paris 1894, p. 207—291, 293—338.