Differentiation und Integration.

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F. Differentiation und Integration unter demIntegralzeichen.

Diese schwierigen Fragen, welche den Scharfsinn der gegenwär-tigen Mathematiker geprüft haben, wurden von Euler ganz einfachbehandelt. 1 ) Ist P, sagt er 2 ), eine Funktion von z, u, und setzt man:

so ist:

( 4 )

man hat nämlich:

= S,

8u ’

p = SS 8P = 8 *S

cz ’ cu 8u8z’

woraus (4) folgt. Es ist ferner:

(5) l*Sdu= fdz fPdu ;

setzt man nämlich:

J Sdu = V,

so folgt:

^=s = fpdz, f-T- = f = p,

cu '! ’ czcu dz ’

also:

— = / Pdu,

cz J ’

woraus sich (5) ergibt. 3 )

Später stellte Euler die folgenden Sätze auf 4 ):

*) Die Differentiation unter dem Integralzeichen wurde schon von Leibniz gebraucht (diese Yorl., III*, S. 231). *) Isova methodus quantitates

integrales determinandi, Novi Comm. Acad. Petrop. XIX, 1774 (publ. 1775),p. 66—102; Inst. calc. int. IV, p. 260—294. ’) Fontaine (a. a. 0.) beweist

diesen Satz wie folgt. Es ist:

j^y.'clx — J^fidx = dJ fidx,

andererseits hat man:

Jji'dx '— jiidx= j(fi'dx' — pdx)= J d(fidx),d j\idx = I d ( iidx ).

also:

4 ) Uberior explicatio methodi singularis nuper expositae, integraliaalias maxime abscondita investigandi (1776), Nova Acta Acad. Petrop.IV, 1786 (publ. 1789), p. 17—54. — De insignibus proprietatibus formu-larum integralium praeter binas variables etiam earum differen-tialia cujuscunque ordiniB involventium (1777), Nova Acta Acad. Petrop.IX, 1791 (publ. 1795), p. 81—97.