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Abschnitt XXVI.

1. Es ist für jede Funktion T':00 00 00

(■) 00

j & dX “ = dp'!™*"’ j dX "j Vdp " =j d P'f V ^“-

2. Setzt man p = , q = ^ist ferner Z eine Funktion

(t X (t X

ron x, y, p, q, . und:

dz

so folgt:

Vdx = dZ

=(:

, . dZ , , dZ 7 , cZ

.. dx + d u + . dp + — dq +öx cy •’ dp * cq 1

,cZ

\ÖX

c Z . c Z

p * -h U ~—

1 cy 1 cp

cx a dy ,i cp Y d^dr t cs' 3 dx a cy ,i dp Y cq^ er* cs

C + + y + ^ + * + f*

+ 7 J dx a dy‘ i+1 8p y ~ 1 dq ä cr e ds :;dX + Väx“

+ r °ii + --) dx ’

^a + ^ + y + d + s + t^-

oy ?

g“+i ’i + y + <* + « + J^

*dy?cp Y + 1 dq d - i dr'ds '

. , / ' , , /• r*i*r* »*-*-. z

■ ’ d x a dy i dp y 8q^ + 1 dr e 1 ds~ r a d iS ?,-- Y % .ß

’dy ;,+ dp y ~ dq

^a + ,i+y + i + i + : z

cx a di/ciZdq i dr t+ ds'

-.dx

dx.

G. Vielfaclie Integrale.

Euler ist wohl der erste, der sieh mit vielfachen Integralen be-schäftigte. In einer im Jahre 1770 erschienenen Abhandlung 1 ) stellt

er vor allem die Bedeutung der Bezeichnung J f Zdxdy fest, wo Zeine Funktion von x, y ist, und bemerkt, daß:

Cfzdxdn = V+X+ Y

ist, wo V eine bestimmte Funktion von x, y bezeichnet, währendX, Y willkürliche Funktionen von x bzw. y darstellen. Die Berech-nung von V kann auf zweifache Weise geschehen; es ist nämlich:

j'fzdxdy = f ‘dxJ'zdy — fdy fzdx.

Handelt es sich aber um die Berechnung einer krummen Flächeoder eines Volumens (oder, wie man heute sagen würde, um die Inte-gration über einen bestimmten Bereich), so muß bei der Auswertungdes Integrales unter der Form:

*) De formulis integralibus duplicatis, Novi Comm. Acad. Petrop.XIV, 1769 (publ. 1770), p. 72—103; Inst. calc. int. IV, p. 416—445. Freilichhatte Euler auch früher Doppelintegrale betrachtet (diese Vorl., HI', S. 657,855).