Differentiation und Integration.

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/ dx I Zeh/

die Integration nach ;/ zwischen solchen Grenzen erstreckt werden,die, den Fall eines rechtwinkligen Integrationsbereiches ausgenommen,von x abhängig sind, und sich durch Auflösung der Gleichungder Begrenzung nach y ergeben. Dagegen sind die Grenzen derzweiten Integration konstant; sie sind die äußersten Werte von x,und ergeben sich aus der soeben erwähnten Gleichung, wenn mandx = 0 setzt; mit anderen Worten, man muß, wenn f(x,y) = 0

die Gleichung der Begrenzung ist, y zwischen /* = 0 und ^ = 0 eli-minieren und dann nach x auflösen.

Nachdem Euler auf diese Weise die Grundlage der Theorie dervielfachen Integrale gewonnen hat, kommt er auf das Problem vonder Transformation. Dazu bedient er sich, dem Wesen nach, derselbenMethode, die in den heutigen Lehrbüchern üblich ist. Er bemerkt,daß, wenn mau:

x = f + tm + uYl — m*, y = g -f- t ]/l — m s — um

setzt, das Element der Basis (so nennt Euler den Integrationsbe-reich), das früher dxdy war, jetzt durch dt du dargestellt wird. Esist andererseits nicht dxdy = dtdu ; aber es gibt keinen Grund dafür,daß die statt dxdy einzusetzende Größe den gleichen Wert habenmüsse. Um nun die Transformation auszuführen, setze man zuerstu anstatt y ein, so daß y als eine Funktion von x, u betrachtet wer-den darf; es folgt hieraus:

(b) dy = Pdx + Qdu.

Da aber x während der Integration nach u als konstant anzu-sehen ist, so reduziert sich dy auf Qdu, und es ist:

Jfzdxdy = f dx f QZdu = fdu (QZdx.

Ersetzt man nun x durch seinen Ausdruck in t , u, und ist:

(7) dx = lidt -f Sdu,

so ergibt sich, da u bei der Integration nach x konstant bleibt:

fjzdxdy =Jduj QZTtdt = jj QZfldtdu.

Ist aber:

(8) dy = Tdt + Udu,

so folgt wegen (7) aus dem Vergleich von (ü) und (8):

CantoRj Geschichte der Mathematik TV. 48