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Abschnitt XXVI.
Pli = T, PS -r Q = U,
und hieraus:
Ql! = EU-ST,
also:
f IJ Zdxdy =j‘l‘z< IiU— ST)dtdu.
Hätte man die Operationen in umgekehrter Ordnung ausgeführt,so würde sich dasselbe Resultat, jedoch mit entgegengesetztem Vor-zeichen ergeben; das ist aber nebensächlich, da es sich hier nur umdie Bestimmung von absoluten Größen handelt.
Das Problem von der Transformation der vielfachen Integralebot sich nicht viel später Lagrange 1 ) dar; seine Erörterungen sindden Eulerschen sehr ähnlich, man kann aber nicht entscheiden, ober die Arbeit von Euler kannte oder nicht. Ist:
dx = A dp + Pdq + Cdr,dij = Ddp + Edq + Fdr,dz = Gdp + Hdq -f- Idr,
so muß man beachten, daß man bei der Berechnung der im Produktedxdydz vorkommenden Größe dz die Größen x, y als konstant an-sehen muß. Aus:
Adp + Bdq + Cdr = 0,
Ddp + Edq + Fdr = 0
folgt aber:
, BF—CE , , CD — AF ,
dp AE — BD ( >? d<l AE — BD d> >
also:
d z _ G BF ~ CE) P H Cl ) — AF ) + I(AE — BP) ^
folgt
also:
Um dann dy zu berechnen, muß man dx = dz = 0 setzen; esdr = 0, Adp + Bdq = 0,dp = — j , dy= dq.
endlich dx zu berechnen, muß man dy = dz = 0 setzen; es
dq = dr = 0, dx = Adp.
Aus den erhaltenen Ausdrücken ergibt sich:
dxdydz = [G^BF — CE) + H{CD — AF) + 1(AE — BD)]dpdqdr.