Bestimmte Integrale.

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Der absolute Wert der eingeklanimerten Größe ändert sich nicht,wenn man dx, dy, dz beliebig umsetzt; es ist also gleichgültig, inwelcher Folge man sich die Integrationen ausgeführt denkt.

Legendre 1 ) nahm das Problem wieder auf; er erkannte aberselbst, daß sein Transformationsprinzip mit dem Lagrangeschenübereinstimmt.

Kleinere Beiträge zur Theorie der vielfachen Integrale sind:

a) Die Euler sehe Formel 2 ):

.11

* = 0 '(*-!)!

0

welche ohne Zweifel aus der (von Euler freilich nicht angegebenen')Rekursionsformel:

/(I — x) r Xiix = (1 — x)' J Xdx + v 1(1 — x) r ~'dx f Xdx

abgeleitet ist;

b) die Frisischen Formeln*):

f dxjydx = x fydx —Jxydx,

fdx fdx jydx = fydx — x jxydx + * jx-ydx,

usw.

\\ ollen wir die Ergebnisse des vorliegenden Kapitels in wenigeW orte zusammenfassen, so können wir sagen, daß unsere Periodeeinen nicht unbedeutenden Beitrag zur Integrationstheorie gelieferthat, da^ wir ihr eine große Entwicklung der Integration derirrationalen und transzendenten Größen und die Klarleguntr des Be-griffes vom vielfachen Integrale verdanken. Ein weit wichtigererZweig der Integralrechnung wurde in dieser Periode geboren, aberdiesem soll ein besonderes Kapitel gewidmet werden.

Bestimmte Integrale.

Die bestimmten Integrale bilden nur einen speziellen Fall derunbestimmten. Daß sie nichtsdestoweniger eine besondere Behand-lung verdienen, hängt davon ab, daß manche Integrale, die nicht

’) Memoire sur les integrales doubles, Hist. Acad. Paris 1788

'publ. 17*11 1, p. 454 — 486. Uberior explicatio etc. (s. o. S. 737).

’) Opera, I. Bd.

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