Abschnitt XXVI.

7.42

durch elementare Funktionen ausdrückbar sind, sich dennoch, zwischengewissen Grenzen genommen, durch zweckmäßige Kunstgriffe be-rechnen lassen. Euler hat sich mit der bestimmten Integration mitVorliebe beschäftigt, und sein Name wird so gut als vollständig dasgegenwärtige Kapitel austüllen.

Zunächst eine kleine Bemerkung. Die heutige Bezeichnung:

6

a

wird in unserer Periode noch nicht gebraucht (s. o. S. 232); man sagt:

ff(x)dx von a bis b erstreckt“, oder: „ff(x)dx, wo das Integral

für x = a Null ist, und nach der Integration x = b gesetzt werden muß“.

Eine andere Bemerkung, die allerdings fast überflüssig erscheint,ist diese: Euler behandelt ohne jedes Bedenken als gewöhnlicheIntegrale diejenigen, die wir heutzutage als uneigentliche Integralebezeichnen.

Bei der Unmöglichkeit, alle von Euler berechneten Typen vonbestimmten Integralen anzuführen, werden wir die interessantestenunter ihnen erwähnen.

I. 1 * * ) Das Integral:

H n = f x / ~ 1 dx(l — x 9 )”

läßt, wie man leicht beweist, die folgende Rekursionsformel zu:

H n = f _£-, ig [»9H n _ l +xf(l-0n

Setzt man dann:

I x f ~^dx(\ — x 9 )”,

o

so folgt hieraus:

O

/'+ ng

es ist aber I 0 = y-> folglich:

_ g n l ■ 2 ■ • • >1

In = f <f+g){f+*g) — <f+*g)

Ist g unendlichklein, so kann man setzen:

m

1 t?a:(log£c)'', integratione a

*) Evolutio formulae integralis

valore x = 0 ad x=l extensa, Novi Comm. Acad. Petrop. XVI, 1771 (publ.

1772), p. 91 —139; Inst. calc. iut. IV, p. 78—121.