Bestimmte Integrale.

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Eine Verallgemeinerung eines soeben berechneten Integrales bildetdas folgende:

1

g — log xdx

./ (1 —

0 '

Es ist:

s-| d :, [(i - 1 (i - *-) 2 +4(i- *-) 3 +• • •]

(i-x")

/ ' r~ 1 W< 9 Wt ^ m

x m ~ 1 dx (1 — x”) " + 4- (1 — *") " + y (1 — *-)' 71 -f •

o

Setzt man aber:

j x m ~ 1 clx( 1 — x n )'- = Ajlx m ~ 1 dx( 1 — x n y ~ 1 -(- Bx m (1 — x*y,

so ergibt sich durch Differentiation:

also:

A- , 1{ = ' ; >

m + X n 7 m + X n 1

i i

J x m ~ 1 dx (1 — x n ) 1 = m J x m ~ l dx{ 1 — x’') 1 - 1 .

Da nun:

dx (1 — x”) " =

ist, so folgt, wenn man diesen letzten Wert der Kürze wegen mit Abezeichnet:

i i

i* nt i * m

f x m ~ l dx(\ — x n ) ”= n ^ n ~J x m ~ l dx{l — x n ) n

n — m 2 u — m k n — in

kn

A,

also:

L n ■ n

ti — m (n — m) (2 n — m) (»i — m) (2 n — m) (3 n — m)

n ■ 2 n ■ 2 n

+

n ■ 2 n ■ 3 n • 3 n

+ -]■

‘) De integralibus quibusdam inventu difficillimis (1780), MeinAcad. St.-Pet. VI, 1813—1814 (publ. 1818), p. 30—53.