Bestimmte Integrale.

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c m — x" , , III -4- x

-(Ix = log

logx ° fi 1

Ist allgemeiner:

wo:oder:so folgt:

P(x) = Ax a + Bx?

-4 + J! + • • • = 0,P(l) = 0,

1

f-^i X = A l0 ^ a + !) + + !) + • • -

Ein besonderer Fall dieser letzten Formel ist:

f iX ~ü>gx dX = log ^ M + *) _ (l) log " + (•>) lo g ( ' n - ! )-•

’o

Aus (4) folgt für m = ir, n = — ir:i

f sin (r log x) , 1 , 1 ir ,

/ , - dx = —. log , . = arctgr.

. f log x 2 1 6 1 — 1 r °

o

i

Will man analog j' erhalten, so kann man die

b °

Reihenintegration anwenden; man erhält so * 1 * ):i i i

Pcob (rlogx) _ f dx r» _ r) _ = f dx ^ ,,

J log x 7 log« 2 4 J logx ° f 7

0 0 0

wobei man beachten muß, daß das rechts vorkommende Integral un-endlich ist. Es ergibt sich aber hieraus:i

f cos in logx)— cos logx) . l , 1 -j- fi*

J logx ( X 2 0g 1 -j- »i ! ’

*) Es ergibt sich:

/^cos (r logx) ^ __ C j" 1 _ r logx -|-y; logx 3 -1 dx;

J logx J Llogx 2: 6 ^ 41 6 J

es ist aber:

1

I log x" <7x = (— 1)" fl 1 ,

woraus die im Texte angegebene Formel unmittelbar folgt.