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Abschnitt XXVI.

oder auch:

j ' sin {p log x) • sin (q log x) ! + (/)-{)*

log#

■dx = — log , . ,

4 b 1+(J) + 5) !

Setzt man in (4) m = s + ir, n = s — ir, so folgt:

i

f x‘ sin (r log x) , , r

I _ — rt# = arct

log X

S+ 1

Die Gleichung (3) läßt sich auch so schreiben:i

f x u dx , „

/ , = log U 4- C.

J xlogx ° '

• 0

Hieraus folgt durch abermalige Integration nach u:i

f x u dx r

f x log x* = J lo % udu + Ct< + C i = « log« + (C — 1 )k + C lt

0

1

f x u dx l 9 , . -2 6'—3 , „

J x\ 0 gx> ~ 2 ?rl °£" + —r-“‘ + C 1« + c *>

0

und allgemein:i

/" x u dx 1

(5 j J X\ 0 <rx n + 1 = »Ti l0 " “ + 4>«" + A 1 + ' • • Ä„ _ , U + A n .

Da aber die willkürlichen Konstanten unendlichgroß sind, so mußman dieselben fortschaffen; das geschieht durch zweckmäßige Kom-bination der für n verschiedene Werte n lf u 2 , . . u n von u geschrie-benen Formel (5). Ist nämlich:

L \ = («1 - Mg) («1 - Mj) • ' ' («1 - M„)iTo = (u 2 - iq) (n g - it 3 ) ■ ■ • (u 3 — u„),

= («, - «x)(«, - «*) • ' • («» -

so ergibt sich:

/* dx iv* x u ' *"""

d xlogx" _1 -fi fs U n -

0 ° 71

■* 1 n — 2 i 7j — 2 i *j_2 i

= 1 i lo g "l I «8 log , , 'h, _L°S u n

«— 2! L C'i + u, +•••+ r „