Bestimmte Integrale.

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4. 1 ) Von der Formel:

J

'dx log x

yr~ x 5

0

7t

O

log 2,

die einen besonderen Fall einer schon besprochenen Formel bildet(siehe oben 2.), gibt Euler drei Beweise, von denen nur einer hierangeführt werden möge.

Setzt man:

so ist:

V 1 - z 2 = y,

dx _ dy _

Fl — a: s Fl -2/* *’

folglich:

log x = log |/l - if = -

*dx log xy i — x*

0

1

/' <i>j

Jv i-

r ,r_ , r

2 ” r 4 ‘ r 6

fl! 4. y 4 _L MlI 2 ~ r 4 -r 6

+ •••],+ -]<

es ist

also:

aber:

i

/ y~ h dy 1 • 3 ■ 5 • ■ • (2/i — 1) nJ yrTly* = 2 • 4 • 6 • • • 2 h T ’

J

1

'da: log x

y 1 — a - *

o

13-52 • 4 ■ 6 ä

Andererseits hat man:

— log (i +yi

—

~J

r dzz yi - z i

~J

*dzz 1

und:

**

** a,

1 *

II

VI

>+T

■ z s + 1 ■ 3* ‘ 2-4

-]•

oder:

/* dZ - f

J zy\ — z- j

dz

z

4^ !

+ 1 • 3> 2 - 4 2 Z

+ • •

• + o,

folglich :

— iog ei +yr-

z*)

, , 1-3 ,

' + 27Y* Z

■ + C

und, wenn man £ = 0 setzt:

/ * dx log 37

*) De integratione foimulae J - 1 ab x = 0ada:=l extensa,

Acta Acad. Petrop. I, P. II, 1777, p. 3—28; Inst. calc. int. IV, p. 154—182.Ein anderer Beweis findet sich in der oben (S. 745) angeführten Schrift: Deintegralibus quibusdam etc.