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Bestimmte Integrale.

n u i i

X COS £ -f- X

2 x” eos ft -)- 1

wo p < n, wird durch Zerlegung der zu integrierenden Funktion ineinfache Brüche berechnet, nachdem man bemerkt hat, daß die Xull-werte des Nenners durch:

ft -)- 2 (h — l)rr

ft it + 2 * *

H

n

n

gegeben sind, wenn:

x = cos (o + t sin c.j

ist. Man findet ferner:

7 / xx n+p — 2 / cos i + x n " px x~ n — 2 x " cos ft -(- 1

d x x" + p — 2 x” cos £-\- x n px x 2n — 2a:”cosft-|-l

I

0

0

Unter den interessanten Bemerkungen, zu denen dieses IntegralAnlaß bietet, möge eine hervorgehoben werden. Die zu integrierendeFunktion verändert sich nicht, wenn man tt durch tt + 21;x ersetzt,während der Wert des Integrales ein anderer wird. Welcher ist, fragtsich Euler , der wahre Wert des Integrales? Alle sind es, antworteter, denn solche Integrale sind unendlichvieldeutige Funktionen, wie

C dx

sich aus dem Beispiel von J y^_ x i ersehen läßt.

8. 1 ) In einem Schreiben an Lagrange vom 26. Januar 1775teilte ihm Euler die Formel:

(x — l)dx

log x

0

mit. Lagrange bewies diese Formel und legte Euler die weiterenvor:

b

n

x m dx

a

x

(n -(- 1} 7t

taug

(*"-*")**(l -f- x r ) log.r

(m -fi l):t

tang

0

') Lagrange, Oeuvres XIV, Paris 1892, p. 241, 242. — Euler , Observa-tiones in aliquot theoremata illustris de la Grange, Opuscula anal.II, Petersburg 1785, p. 16 —41. — Siehe auch: Euler , De iterata integrationeformularum integralium dum aliquis exponens pro variabili assu-mitur (,l776i, Nova Acta Acad. Petrop. VII, 1789 (publ. 1793), p. 64—82.

*) Über dieses und einige damit verwandte Integrale siehe auch: Euler , Uberior