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Abschnitt XXVI.

Die erste Gleichung bewies Euler zunächst durch Reihenentwick-lung, dann auf folgende Weise. Aus:

ß-'clx = b!, -- aV , Jx»d!l = X l~ x \

folgt:

Es ist analog:

711 b

woraus die verlangte Formel unmittelbar folgt.

Was die zweite Lagrangesche Gleichung betrifft, geht Euler von der Relation:

30

/■

x k + n d x 7t

+ x z

2 k cos

2 k

aus. Integriert man nach n, so folgt:

/'x +n — x dx 7t /* * du , , 7t (k

j - 1+x » x\o g x = 2 yy ws !ii! = l0 g tan g 4

(k -(- n) _ik ’

setzt man hier statt k + n zuerst n + 1, dann m + 1, statt 2k beide-mal r, und subtrahiert, so ergibt sich die gesuchte Formel.

9. 1 ) Wir begnügen uns damit, die Untersuchungen Eulers überdie Integrale:

explicatio metliodi singularis nuper expositae, integralia aliasmaxime abscondita i n ve s tigandi (1776), Nova Acta Acad. Petrop. IV, 1786(publ. 17891, p. 17—54.

r x m ~ 1 dx

*) Investigatio formulae integralis / t . casu quo post

t/ (1 -|- x )

integrationem statuitur x=oo, Opusc. an. II, p. 42—54; Inst. calc. int. IV,

/* x m ~ k dx

p.346—357. — Investigatio valoris integralis / ■-;- 77 a ter-

J 1 —2 a: costf-f-x'*

mino x — 0 usque ad x = cv, extensi, Opusc. an. II, p. 55—75; Inst. calc. int.IV, p. 358—378.