Bestimmte Integrale.

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ß"‘- 1 dx (

( 1 +**)'

./ 1 — 2x k cos & + x ilc

0

nur kurz zu erwähnen. Mit seiner gewöhnlichen Gewandtheit faßtEuler einerseits alle logarithmischen, andererseits alle zyklometrischenBestandteile jedes Integrals zusammen, zeigt, daß die ersteren eineverschwindende Summe liefern, und berechnet die Summe der letz-teren; dadurch findet er für m<k und für m < 2k beziehungsweise:

X

in — 1

m 7t

(s. o. unter 8),

o

( 9 )

m (Ti — tt) -f- tt kk

/ x"‘ 1 d x1 — 2 x k cos 0- -\- x'

, • „ • Mi n

k sin tt sin

o

Setzt man ferner:

(i + x k y

(l+X k )” (1+.T*)’

so ergibt sich durch Differentiation:

(»t — 1 )k

(n — ljfc

folglich für m < k:

cc

m

(n — l)k

Durch wiederholte Anwendung dieser Formel erhält man wegender ersten Formel (9):

»

(a — l)k

0

10. 2 ) In einer Arbeit mit dem Titel: Methodus inveniendi etc.behandelt Euler gewisse Probleme, von denen wir eins als Beispielwiedergeben.

*) Über das erstere Integral siehe auch: Mascheroni, Adnotationes etc.

*) Methodus inveniendi formulas integrales quae certis casibusdatain inter se teneant rationem, Opusc. an. II, p. 178—216; Inst. calc.int. IV, p. 378—415.

Cantor, Geschichte der Mathematik IV.

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