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Abschnitt XXVI.

Man verlangt, eine solche Funktion v von x zu finden, daß fürjeden Wert von n die folgende Relation besteht:

J x" d v

o

an +

ß n +

i./*"

l dv.

Wir setzen, der Einfachheit wegen, a = ß = 1 voraus. Wenndie geschriebene Relation gelten soll, so muß sein:

(10) Jar ( h = l + tt b ftf- 1 dv+ V,

wo V eine Funktion von x bezeichnet, die für x = 0 und für x = 1verschwindet. Es ergibt sich hieraus durch Differentiation:

(n + b)x"dv = (n + d)x n ~ 1 dv + (w + b)dV,

woraus erhellt, daß dV den Faktor x n ~ 1 und folglich V den Faktorx n enthalten muß. Setzt man daher:

(» + b) V = x" Q,

so ist:

(w + b)xdv = (n + a)dv + nQdx + xdQ,eine Relation, die erfüllt wird, wenn man setzt:

(x — 1 )dv = Qdx, (bx — a)dv - xdQ.

Hieraus folgt:

d Q (bx — a)dx / a b — a\ ,

Q = x(x~-l) = U + x~lJ (X ’

also:

q = Cx a {x -- 1 y~ a ,

und:

V = Cx n + a (x — 1 ) 6_a ,

eine Funktion, die, wenn b > a, für x = 0 und für x = 1 wirklichverschwindet; ferner:

dv = = Cx a (x — l) b ~ a ~ 1 dx.

x — l v '

Die Rekursionsformel (10) wird also:

Jx n+a (x— 1 ) b ~ a ~ 1 dx

= n^j-~6 jx n + a ~ 1 (x — 1 y~ a ~ 1 dx + n j^^x n + a (x — 1) 6_ “,

woraus folgrt: