Bestimmte Integrale.

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i i

jx n + a (x — Yf~ a ~ l dx = ” j x” + a ~ 1 (x — i y>- a ~ l dx.

0 0

Das Problem läßt sich in zweifacher Richtung verallgemeinern,indem man sich entweder die Relation:

jx n dv =o

i

(a« + a)(a'n+a') /'

<ßn + b)lß'n + b’)J J 'o

dv

oder die Relation:

(115 (an + a) j x”dv = (ßn -rh) f x n+1 dv + (yn + c) jx n + 2 dv

vorlegt. Beide Fragen werden von Euler in der angeführten Ar-beit berücksichtigt; die zweite läßt eine Anwendung auf die Theorieder Kettenbrüche zu. Ist nämlich der Kettenbruch:

(p = ß + b +

('/ + c)(2a + d)

, ß + b+ (Il + ^ 3 “ + “)

3^ + 6+ ■.

gegeben, und läßt sich ein Integral:

i

l n = (x n d vo

ermitteln, welches die Gleichung (11) erfüllt, so ist:

<P

(u -|- d)I i

X

ll. 1 ) Zur Berechnung von:

i

f dx (r=r, + i^)

gibt Euler fünf Methoden, auf welche wir einzugehen nicht für nötighalten.

M Evolutio formulae integralis I dx [T=i + i^c) a termino

x = 0 usque ad x = 1 extensae (1776), Nova Acta Acad. Petrop. IV, 1786ipubl. 1789), p. 3—16.