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Abschnitt XXVI.

12.’j Durch Differentiation und Integration unter dem Integral-zeichen berechnet Euler die Integrale:

Cc c

Ix^logxdx tx p (Ix

,/Ä x ’ . / A .t log x ’o o

y i

/a J ' — x~ p log xdx faf — x -1 ' dx

,! Ä x ’ J A x log x ’

wo:

A =

x” + 2 cos ff + x~”,x~ n {\ + x n ) ,

ferner:

x" -f (f + y) + x- ”,

X 1

/ X?* (Ix px? + x" p dx

*'x n -1- x ~ 71 x 7 •} x n -j- x~ 71 x

usw.

+ aT" ® ' J x n +i

V 0

13. Eine Verallgemeinerung der sogenannten Betafunktion

i

(diese Vorl., IIP, S. 653) fx p ~ i (l — x)' l ~ 1 dx bildet das Integral:

, N /' x? 1 dx

0 ,(/) = /- 71 -~q

■’ (l-*")“"

(l-*")

welches sich auf das frühere für n — 1 reduziert. Diesem Integralewidmet Euler drei Abhandlungen. 2 )

*) Innumcra theoremata circa formulas integrales quarum de-monstratio vires analyseos superare videtur 1 17 7G), Nova Acta Acad.Petrop. V, 1787 (publ. 17891, p. 3—26. *) Observationes circa integralia

r

formularum / x? 'rf;r(l— x n ) n posito post in tegrat i onem x = 1,Mise. Taur. III, 1762—1765 (publ 1766), P. II, p. 156—177. — Comparatio va-

/' x p ~ 1 (lx

lorum formulae mtegralis / „ a termino x = 0 usque ad

. ' K (l — X n ) n ~' 1

x — 1 extensae, Nova Acta Acad. Petrop. V, 1787 (publ. 1789), p. 86—117;Inst. calc. int. IV, p. *295—320.— Additamentum ad dissertationem prae-

f* x p ~ l dx

cedentem, de valoribus formulae integralia I y, --- ab x = 0

J y (i — x n ) n ~‘ l

ad x=l extensae, Nova Acta Acad. Petrop. V, 1787 (publ. 1789), p. 113 bis129; Inst. calc. int. IV, p. 326—337.