Bestimmte Integrale.

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Es ist vor allein zu bemerken, daß man p und q kleiner als nmachen kann vermittels der Formeln 1 ):

(12 ) \p + n, q) = p ? a (p, q), ( P, q + n)= }) ^ q (p, 9);

ferner ist:

(13) O, q) = ( q , p), (p, h) =■ y , (», 9.) = a •

Durch wiederholte Anwendung der ersten Formel (12) ergibt sich:

IP, 9) = +P :

_ P + 9«+P + 9 ... + p +. 1 ((j + i )n + p q)

)) »-]-]> j» -f p v J 1 ’ 1 ’

wo j = oo. Desgleichen ist:

(r, 2) 9

■ ’ x r h r

“ w + 1), + r, S),

Die Formeln (12), (13) lassen sich folgendermaßen ableiten. Es ist:

(P + »5 9) + (P, 9 + »*) =

/[*"-

1 (!-*") " +^- 1 (l-x'')

-*")"]

/ • q-n

xf - 1 (l l*" + (l -x n )l dx= (j>, 3),

0

— 9(P + »>, 9)+P(P. 9 +

1

/■r i_l f jn 1

L— a* p+ * -1 (l-*") Ä +P^ _1 (l-*’ , ) n -lda: = U p (l-a : ")'‘J 0 = 0,

u

woraus sich die Formeln ^12) unmittelbar ergeben.

Setzt man ferner in (p, q):

1

x = (l -y n r,

eo folgt nach einfachen Umformungen:

o 1

iP,q) = -J •/*-'( i-/) *

P-H

r) n ~dy = (q,p).

Endlich ist:

i

(p, n) — ^jx p ~ l dx =

o p

(n, q) = ( q , n) =