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Abschnitt XXVI.

also:

(p, q ) = r(j> + 5) Qi + >•)(»+ P + g) n(r, 3) p(r -)- 3) (« + p) (» + r -f q) ' ‘

woraus die Relation:

(«. jO _ = («, c) _

(a + c, 6) (a + b, c) ’

unmittelbar folgt, die zu einer Fülle von weiteren, hier nicht anzu-führenden Beziehungen Anlaß gibt.

Das Integral ( p , q ) läßt sich durch eine konvergente Reihe aus-drücken; es ist nämlich:

i

0 > q)=Jx p - l (i + n ~ q z* + -~ q - 2n ~ q x 2n -\—) dx

0

_ 3 ? n — 3 x n + p n — q 2 » — q x 2n + p 1

LP n nJ rP ' n 2 « 2 n-\-p' _o

_ 1 . n — 3 1 . w — q 2 n — 3 1

p n n -f- p n 2 n 2 n -j- p '

Es ist aher von Interesse, eine rascher konvergierende Reihe zuerhalten. Dazu muß man beachten, daß:

i

n J

V*

0 > i) =J

q-n j q-n

x p ~ 1 (l — cf 1 ) n dx + fx p ~ 1 ( 1— x n ) n dx

1

n~Z

v 2

i

yi

/* q-n /* p-n

= Jx p ~ 1 ( 1 — ” dx — J — if) "

dy*)

i

ks

7( —

V2

1

« -

/* S-n /* f>-*

== Jx p ~ l (l—x”) n dx + Jy'~ l (l — y”) " dy

ö 5

; 1 r_l_ . « — q 1_, n — 3 2w —3 __ 1_L . . .1

Lp 2« n -)- p ' 2» 4n 2 n -j- p J

i 1 f 1 , n ~P 1 _ n — p 2 n — p 1 ' . . .1

7/2~« L?' 2 n »i -|— 3 ’ 2 » 4 n 2« + q " 1 " J ’

') Der Wert von ®0\ 3)

rechnung angegeben worder

war von Euler schon im 1. Bande seiner Integral-

s ) Siehe die vorletzte Anmerkung.