Bestimmte Integrale.
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1 + «*
,/+ 1
j — ' T _ T =
J i + l a 1 — x _ a s'
Diese Formel ist aber nur ein besonderer Fall einer anderen, dieEuler durch Induktion beweist:
n
IcosXtpdw 7ta' r/n — X\ In 4- Ä\ , In — I\ /n + i\ „ , ~\
.1 a-" ~n L( o )( 7 ) + ( i )UTi )“-+ ■ •■]•
o v y
17. 1 ) Ein geometrisches Problem führte Euler zu den Inte-gralen :
X X ,
l'costpdcp /‘sinqpdqc
./ Vf ’ J Vf
(14)
Die Berechnung derselben gründet er auf die später als Euler-sches Integral zweiter Gattung bezeichnete Funktion:
SC
j x n ~ 1 e~ x dx = /\w).
Man findet leicht die Rekursionsfonnel:
(15) r(n + 1) = d)»);
es ergibt sich ferner durch die Substitution x = ky:
ly"~ l e^ ky dy = ■
*' k
o
Die Größe k darf nicht negativ, wohl aber imaginär sein. Istdann k = p + iq , und setzt man:
p = r cos u, q = r sin u,
oder:
r = Vp 2 + q i , « = arctg ® ,
60 folgt:
X
ly"- 1 e-‘ > y(c.osqy + i sin qy)dy = = — n ^ (cos na + i sin na),
J (P + l< I) r
0
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