Bestimmte Integrale.

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r(«) = ir(i + m) = lr(i) = l

coswa=l, sin uec = aa = a arctcr — .

' Om'

so erhält man:

/ X ao

e~ pz cos qxdx Ce~ pz sin qxdx , q

-;;-= /- - -= arctg - ;

x ’ J x ° p ■

o o

fiir p = 0, q = 1 ergibt sich aus der letzten Formel:

18. 1 ) Ist:

7e

J sinxdx 7t

x “ T ’o

Sn

(1 + ® + **)»-

so sucht Euler die Koeffizienten a nh durch bestimmte Integrale aus-zudrücken. Er findet:

n

a nn=l J ( 1+2 COS (f)”dcp,

0

n

a n, n±l=^y (1+2 COS Cp) n COS (f d (f,

0

ft

n„,„±2 = lc j (1 + 2 cos (p)” cos 2cp d<p,

Hieraus ergibt sich:

_1 r af cos ryrfqp ^ f r

n J l-x-2xcoscp "’ n + r l/l-2ä-5T3 x ^

wo:

Setzt man:

v =

v

1 — je — ]/1 — 2 a: — 3 a

x x h . + -j _j_- x ,

so läßt sich die erhaltene Formel folgendermaßen schreiben:

’) Disquisitiones analyticae super evolutione potestatis tri-nomialis (1 + x + x t ) n (1778), Nova Acta Acad. Petrop. XIV, 1797—1798(jpubl. 1805), p. 75—110.