Bestimmte Integrale.
769
Fontana 1 ) berechnete einige von 0 bis * erstreckte Integrale.Nachdem er gezeigt hat,' daß:
/log sin zehr = /logcoszrfz,
geht er von der bekannten Relation:
sin z + sin 2 z + sin 3 z + • • • = * cotg
x’n o
aus, die gliedweise integriert wird; dadurch ergibt sich:
cos x 4- * cos 2x -f- * cos 3z + •■• = — log sin — C,
und die Konstante C wird durch Einsetzung von x — x bestimmt,was ergibt:
C= 1 --J- + T--log 2.
Es ist also, wenn man 2x statt x setzt:cos 2x + £ cos -ix + cos 6 z + • • = — log sin x — log 2.Integriert man nochmals, so erhält man:
2 ,'j» sin 2x + 2 ^ sin 4z + sin6z + ■ • •
= — j log sin xdx — x log 2 + C';erstreckt man von z = 0 bis x = ~, so folgt:
9 7 O
also auch:
2
f *log sin xdx = — log 2,
o
n
Q
/log cos xdx = — log 2.
Hieraus ergibt sich: