Analytische Anwendungen der Infinitesimalrechnung.

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oder:

pdt -ff qdu -ff ■ • • = 0.

Da aber diese Beziehung, wegen der Unabhängigkeit der Ver-änderlichen t, u, . . ., für jedes AA’ertsystem von dt, du, . . . bestehenmuß, so folgt:

1 > = <1 -- 0 ,

ein Gleichungssystem, das die gesuchten Wertsysteme t, u, . . . liefernwird.

Man muß aber auf das zweite Differential d' 2 Z acht geben. Ist:dp — Adt -ff Bdu -ff • • •, dq = Bdt -ff Cdu + • • •, • •so folgt:

d 2 Z = AdC + 2Bdtdu -ff Cdu- H-.

Hat man mit einer einzigen A'eränderliclien zu tun, so hat d 2 Zdas gleiche \ r orzeichen wie A, und man hat ein Minimum oder einMaximum, je nachdem A ^ 0 ist.

Bei zwei A’erändeiliehen kann man schreiben:

d 2 Z = Adt 2 -ff 2 Bdt du -ff Cdu 2 =A{ilt+ 1 [ duf -ff (c - -£) du 1 .

Hier muß, wegen der Unabhängigkeit von dt und du, jedes Gliedrechts für ein Minimum oder für ein Maximum positiv bzw. negativsein; es folgt dann für ein Alinimum:

oder:

A >0, C -

ir

A > U ’

(1)

A > 0, C > 0,

A C > />’-;

für ein Maximum:

-1 < o, C-

*’<«.

oder:

A < 0, C < 0,

A C > H 2 .

Hat man drei A’eränderlichen t, u, v, und ist:

dp = Adt -ff Bdu -ff Ddv,dq = Bdt -ff Cdu -ff Edv,dr = Bdt -ff Edu -ff Fdv,

so folgt:

d"Z = Adt 1 -ff 2Bdtdu -ff Cdu 2 -ff 2Bdtdv -ff 2Edudv -ff Fdv 1= A (dt -ff ^ du -ff — dvj -ff a (du -ff ^ dvj -ff (c — dv 1 ,