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Abschnitt XXVI.

wo:

a

b = E -

Bl)A ’

Es ist also für ein Minimum:

A >0, n > Ü, ac — Ir > 0,

oder:

( 3 ) A> 0 , CA > K-, (CA-ir-){FA- ir-)>(EA-BDf,woraus folgt:

(4) A > 0, C > 0, F> 0, UM > 71-, FA> I) 2 .

Diese letzten Bedingungen sind aber mit den (3) nicht gleich-bedeutend, wie es gleich daraus erhellt, daß E in (3j, nicht aber in(4) vorkommt; Lagrange unterläßt nämlich, die weitere Bedingung:

FC > FF

hinzuzufügen, welche der Symmetrie wegen ersichtlich hinzutretenmuß und sich auch wirklich aus (3) ableiten läßt. 1 )

Nachdem Lagrange einige Worte der Ausdehnung seiner Unter-suchungen auf Funktionen einer beliebigen Anzahl von Veränder-lichen gewidmet hat, fügt er einige Bemerkungen hinzu, die insofernzweckmäßig sind, als seine Theorie, wie er denkt, ganz neu ist („comrneje crois cette theorie entierement nouvelle . . .“).

Ist Z eine Funktion der zwei Veränderlichen t, n, so kann manZ als die Ordinate einer Fläche ansehen. Die der Annahme u = eonst.entsprechende Gleichung dZ = pdt stellt alle Schnitte der Fläche dar,die in den der tZ-Ebene parallelen Ebenen liegen; für p = 0 erhält

') Setzen wir:

CA — B'- = a\ FA-ir- = ß --\ a > 0, ß > 0,so wird die letzte Ungleichung (3):

a ! ß‘ > (FA — BD)*,

woraus folgt, wenn p den absoluten Betrag von p bezeichnet:

|.EA|<ctp + BD ,

E' i A-<a-ß i + B*D-- |-2a/} BI)\

= A'-C F — AC 1A - AFB'- + 2 B* !)'■ + 2 ocß BD\,

oder:

A-{CF — E*) > D i (AC — B*) + B* (AF — D*) — 2 aß BD\

-(« I) -ß\B‘)°-,

woraus sich ergibt:

CF- E 1 > 0.